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目 录 1

第一章函 数 1

第一节实数与数轴 1

一、实 数 1

二、数 轴 2

三、绝对值 3

四、区间和邻域 3

一、集合及其表示方法 5

第二节集 合 5

二、子 集 6

三、集合的运算 7

第三节函 数 8

一、函数的概念 8

二、函数的图形 12

三、函数的运算 13

四、反函数 16

第四节函数的简单性质 18

二、奇偶性 19

一、单调性 19

三、周期性 21

四、有界性 22

第五节初等函数 22

第六节双曲函数 27

一、双曲函数的定义 27

*二、反双曲函数 29

小 结 30

习题一 32

一、数列的极限 39

第二章极限与连续 39

第一节极限概念 39

二、函数的极限 43

第二节无穷小与无穷大 48

一、无穷小 48

二、无穷小与极限的关系 49

三、无穷小的运算法则 50

四、无穷大 51

第三节极限运算法则 52

一、夹逼定理 58

第四节两个重要极限 58

二、两个重要极限 59

第五节无穷小的比较 65

第六节连续函数 67

一、连续函数的概念 67

二、连续函数的运算性质 70

三、初等函数的连续性 70

四、间断点的分类 71

五、在闭区间上连续函数的性质 73

一、数列极限的精确定义 76

*第七节极限的精确定义 76

二、函数极限的精确定义 78

小 结 82

习题二 84

第三章一元函数微分学 91

第一节导数的概念 91

一、引 例 91

二、导数定义 92

三、导数的几何意义 95

四、可导与连续的关系 96

五、导函数 97

六、导数的物理意义 100

第二节求导法则 101

一、函数的和、差的导数 102

二、函数的积的导数 102

三、函数的商的导数 104

四、复合函数的导数 106

五、反函数的导数 110

六、初等函数的导数公式 113

七、高阶导数 115

八、隐函数的导数 116

九、用参数方程表示的函数的导数 118

第三节微分中值定理 122

一、拉格朗日定理 122

二、柯西定理 126

第四节罗必塔法则 127

一、“0”/0型 128

三、 “0·∞”型和“∞-∞”型 130

二、“∞”/∞型 130

四、 “00”、 “1∞”、 “∞0”型 131

第五节导数的应用 133

一、函数增减性的判定 134

二、函数的极值 135

三、弧的凹、凸及拐点 137

四、渐近线 139

五、函数图形的描绘 140

六、函数在闭区间上的最大值与最小值 142

第六节方程的近似解 147

第七节微分及其应用 149

一、微分概念 149

二、微分的运算 151

三、微分的应用 153

第八节弧长的微分与曲率 156

一、弧长的微分 156

二、曲 率 157

第九节泰勒公式 160

小 结 168

习题三 170

第四章一元函数积分学 182

第一节不定积分的概念和性质 182

一、原函数 182

二、基本积分表 184

三、不定积分的性质 186

四、不定积分的几何意义 187

第二节积分方法 188

一、换元积分法 188

二、分部积分法 200

三、有理函数和三角有理式的积分举例 204

四、积分表的用法 210

第三节 定积分的概念与性质 212

一、引 例 212

二、定积分的定义 216

三、定积分的几何意义 219

四、定积分的基本性质 220

第四节定积分的计算 223

一、微积分基本定理 223

二、定积分的换元积分法和分部积分法 226

三、原函数存在定理 230

四、数值积分法 232

第五节定积分的应用 238

一、平面图形的面积 240

二、体 积 246

三、弧 长 249

四、液体的侧压力 252

五、功 254

六、连续变化的量的平均值 256

*七、重 心 258

*八、旋转体的侧面积 262

第六节广义积分 264

一、无限区间上的积分 264

二、无界函数的积分 266

习 题四 268

小 结 279

第五章微分方程 284

第一节微分方程的概念 284

一、可分离变量的微分方程 287

第二节一阶微分方程 287

二、一阶线性微分方程 290

第三节可降阶的微分方程 298

一、y(？)=f(x)型 298

二、y″=f(x,y′)型 298

三、y″=f(y,y′)型 301

四、y″=f(y)型 303

第四节 二阶常系数线性微分方程 304

一、通解的结构 304

二、二阶常系数线性齐次微分方程 307

三、二阶常系数线性非齐次微分方程 310

*第五节二阶常系数线性微分方程应用举例 316

一、无阻尼自由振动 316

二、有阻尼自由振动 318

三、无阻尼强迫振动 320

习题五 321

小 结 325

部分习题答案 327

附录一积分式 349

附录二 几种曲线的参数方程或极坐标方程 363

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